非線形回帰分析　-　17

指数関数のパラメータの推定

a₀，をシフト

\(\Large \displaystyle y_i = a_0 \ Exp (- a_1 x_i) + a_2 \)

・残差平方和

推定値からの残差

\(\Large \displaystyle Se = \sum_{i=1}^{n} \left[ y_i -\hat{a_0} \ Exp(- \hat{a_1} \ x_i) - \hat{a_2} \right]^2 \)

a₀をシフトさせたときの，推定値からの残差

\(\Large \displaystyle Se = \sum_{i=1}^{n} \left[ y_i -a_0 \ Exp(- \hat{a_1} \ x_i) -\hat{a_2} \right]^2 \)

であり，a₀を，δ，だけシフトさせて，固定し，その際のa₁, a₂の推定値をソルバーで推定しました．

dS，を見ていただけるとわかるように，推定値，Seが一番小さく，ほぼ左右対称に増加していることがわかります．

グラフ化すると，

のように，二乗+定数できれいに近似できます．

二次曲線の近似においてもきれいに近似でき，

\(\Large \displaystyle y = 0.2532 + 0.5965 \ \delta^2 \)

ここで，分散値は，

・分散

\(\Large \displaystyle Ve = \frac{1}{n-3} \sum_{i=1}^{n} \left[ y_i -\hat{a_0} \ Exp(- \hat{a_1} \ x_i) \right]^2 = \frac{Se}{n-3} = \frac{0.2532}{6-3} = 0.08438 \)

であり（a₀，a₁，a₂の二つのパラメータが3つあるので，自由度は，n-3），

\(\Large \displaystyle 0.5965 \ \delta^2 = 0.08438 \)

となるδがSEとなるので，

\(\Large \displaystyle \delta^2 = \frac{ 0.08438}{0.5965} =1.4145 \)

\(\Large \displaystyle SE_{a_0} = \sqrt{\delta^2} =\color{red}{0.3761} \)

と推定できます．

・Rによる推定

Rでの近似を行ってみると，

プログラムは，

xx <- c(0,2,3,4,6,9)
yy <- c(11,5,3,2,1.5,1.1)
plot(xx,yy)
fm<-nls(yy~a0*exp(-a1*xx)+a2,start=c(a0=10,a1=0.5,a2=1),trace=TRUE)
summary(fm)

で，結果は，

となり，Kyplotにおいても，

と同じ結果となり，今回の推定値と，ほぼ一致，します．

微妙に異なるのが気になりますが．．．．

「統計解析の初歩」，の「1.2　非線形最小２乗法の基本的な考え方」には，

δのずらした値0.5 を変えると結果は異なり、近似標準誤差の精度が変わる
統計パッケージにより、近似標準誤差の値は幾分異なる

とあります．ここで，”0.5”，がどこから出てきたかはわかりません．そもそも横軸（ｘ軸）の範囲に依存しちゃいますし．．

そこで，σをとる値（±での平均値）でどう推定値が変わるかを調べてみました．その結果が，

とどのδでもRなどの推定値より下回っていました．．．．謎です．．．

次に，指数関数+baseの肩のパラメータ，a₁について，確認してましょう．